ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ ПО ПЕРЕГРУЗКАМ
Покажем теперь, как можно получить основные кинематические параметры — линейные скорости центра тяжести самолета и его координаты,— если известны угловые скорости (или углы) и перегрузки в функции времени 1. В § 6 и 7 мы уже видели, как можно получить углы <[>, г>, у. Поэтому будем считать, что эти углы и угловые скорости известны.
Как известно из курсов_ теоретической механики, проекции ускорения центра тяжести w (или вообще любой точки твердого тела, принятого за начало связанных координат) на оси, связанные с твердым телом, выражаются формулами
С другой стороны, проекции вектора ускорения силы тяжести на связанные оси равны
gx=— £ sin ft, )
gyi = — g COS» cos ч, (12.15)
&i = £cos$sinT. J
Наконец, проекции векторов ускорения центра тяжести самолета да, ускорения силы тяжести g и перегрузки п связаны между собой в соответствии с равенством (12. 11) уравнениями
Wxl = gx—gnx,
Wyi = ёу —[ (12.16)
^ZX = gzX-gtlzl. )
уравнения (12.14), (12.15) и (12.16), легко = mzivyi — »уУа — S sin » — £Пхи
= «д-1 Va — <oltVx і — g cos b cos т—gnyl,
= <»yiVx і — ^jV/^ + ^cos&sinif—gnzl.
Эта система дифференциальных уравнений относительно Vxl, Vvu Vzi может быть проинтегрирована любым численным способом, если известны значения 0*1, у, пхи Щ9 п~ в
функции времени и известны начальные значения величин Vxu VvU Vzi. Последние известны, например, если движение началось с некоторого установившегося режима; при этом Vxi9 VyU Vz легко вычислить, зная V, а, {3.
Следует указать, что такой метод определения составляющих скорости можно применять только для сравнительно коротких промежутков времени, так как ошибки, накапливаясь при интегрировании, могут существенно исказить результат. Поэтому при длительных промежутках времени можно этим методом пользоваться только в том случае, если желательно получить лишь качественную картину. Например, таким путем в свое время пользовались при изучении качественной картины выхода из штопора.
Метод очень упрощается (и уточняется) в отдельных частных случаях. Разберем, например, случай продольного движения в плоскости симметрии[17]. В этом случае <»xi = шу1 = п21= ^ = у =0 [18]
и система дифференциальных уравнений приводится к весьма простому виду
Первое уравнение сводится к квадратуре
)+ f mzA-
Введем проекции вектора скорости V на земные оси Vxo, Vye, связанные с проекциями Vx и Vyl соотношениями
vx0= KriCOS&—yylsin &, Vr>,() = VJ:isin& + VJ,1cos&.
Подставляя в уравнения (12.18), получим весьма простые соотношения
— g(tlxi cos Ь — пу1 sin»),
dt ^
— g—fir(«,isind + «yl COS&),
dt
из которых Vxo и VyQ могут быть получены тоже простыми квадратурами. Зная Vxo и Vvo, можно подсчитать величины Vxt и Vy% а затем скорость V и угол атаки.
Комбинируя изложенные методы с методами, при которых скорость, высота или какие-нибудь другие параметры замеряются непосредственно, можно получить большое разнообразие методов. Некоторые из них получили практическое применение.
Глава XIII